LEHRSTUHL FÜR DIDAKTIK
DER MATHEMATIK
DIDAKTIK DER ALGEBRA

Gleichungen

Gleichungen sind heute ein universelles Werkzeug in der Mathematik und in ihren Anwendungsgebieten. Betrachtet man den Umgang mit Gleichungen, dann treten zwei zentrale Aspekte hervor:

Gleichungen als Werkzeug

Mit Gleichungen lassen sich Beziehungen zwischen mathematischen Objekten ganz unterschiedlicher Art formulieren. Man denke etwa an Zahlen, Größen und Funktionen.

Mit Gleichungen kann man Eigenschaften ausdrücken. So erhält man etwa Formeln zwischen Zahlen oder Größen.

Mit Hilfe von Variablen lassen sich Probleme formulieren. So sind bei Bestimmungsgleichungen Zahlen zu bestimmen oder bei Funktionalgleichungen sind bestimmte Funktionen gesucht.

Beim Lösen dieser Probleme geht es um die Frage der Existenz und um die Bestimmung von Lösungen.

Gleichungen als Objekte

Die Fragen der Existenz und der Bestimmung von Lösungen werden in der Mathematik möglichst für Gleichungstypen untersucht. So entstanden Theorien: Die Gleichungstheorie der Algebra oder die Theorie der Differentialgleichungen in der Analysis.

Der Begriff der Gleichung ist schließlich von der Logik betrachtet worden. Gleichungen ohne Variable stellen aus dieser Sicht Aussagen dar, Gleichungen mit Variablen sind Aussageformen.

Konsequenzen für die Schule

Beide Aspekte werden auch im Unterricht auftreten. Doch kommt es entscheidend auf die Akzentsetzung an. Eine Überbetonung des Werkzeugaspekts führt leicht zu Aufgabendrill. Wird dagegen der Objektcharakter überbetont, so führt das leicht zu übertriebener Begrifflichkeit. Beide Extreme lassen sich in der Entwicklung des Unterrichts beobachten.

Zahlen
2 + 3 = 5

Größen
5 kg + 2 kg = 7 kg

Funktionen
sin2 + cos2 = 1
Formeln
(a+b)2 = a2+2ab+b2

V = abc
Bestimmungs- gleichung
x2 -3x +2 = 0
Gesucht: x

Funktional- gleichung
f(x+y) = f(x)+f(y)
Gesucht: f
Aussagen
2+3 = 5 (wahr)
2+3 = 6 (falsch)

Aussageformen
(in den natürlichen Zahlen)
2+x = 5 (erfüllbar)
x+x = 2x (allgemeingültig)
x+1 =x+2 (unerfüllbar)