Gleichungen im Wandel

Bis in die sechziger Jahre des vorigen Jahrhunderts stand der konkrete Umgang mit Gleichungen im Vordergrund. Trotz einer ausgefeilten Methodik zeigten sich deutliche Mängel im Verständnis.

Die Elemente der Mengenlehre und Logik, die mit der Reform der sechziger Jahre in die Schule Eingang fanden, führten zu einer Gleichungslehre. Im Unterricht wurde nun viel Zeit darauf verwendet, zunächst die begrifflichen Grundlagen zu klären. Das führte allerdings zu übertriebener Begrifflichkeit.

Seit den siebziger Jahren bemüht man sich um eine ausgewogene Behandlung der Gleichungen im Unterricht.

Eine kritische Betrachtung dieser Entwicklung kann auf Stärken und Schwächen hinweisen.

Begriffe

Im Unterricht werden Begriffe benötigt, mit denen über Gleichungen geredet werden kann. Trotz mancher Übertreibung in der Reform haben sich doch ein Reihe von Begriffen herausgeschält, die für das Verständnis wesentlich sind.
Zunächst benötigt man für die Beschreibung der Gleichungen die Begriffe
Variable, Term, Gleichung, Aussage, Aussageform.
Zur Beschreibung von Lösungen dienen die Begriffe Grundmenge, Lösung, Lösungsmenge.
Zur Beschreibung des Lösungsverhaltens dienen die Begriffe: erfüllbare, unerfüllbare, allgemeingültige Aussageform
(alles bezogen auf eine bestimmte Grundmenge).
Für die Beschreibung der Umformungsarten benutzt man die Begriffe: Äquivalenzumformung, Gewinn- und Verlustumformung.
Diese Begriffe gestatten es, über Gleichungen zu reden, Regeln zu formulieren und Ergebnisse zu interpretieren.

Einbindung in zentrale Themen

Gleichungen sollten nicht isoliert behandelt werden, sondern in zentrale Themen eingebunden werden. Das sind in erster Linie die Themen Zahlen und Funktionen, aber auch Größen in Sachbezügen und in der Geometrie.

Einsichtiger Umgang mit Gleichungen

Ein Überbetonen des Übens führt leicht zu einer Mechanisierung des Umformens ohne Einsicht, so dass man von einer "Dressur des Unverstandenen" sprechen kann. Um das zu vermeiden, sind Umformungen zu begründen und Lösungen kritisch zu kontrollieren.

Akzeptanz von Näherungslösungen

Die klassische Gleichungstheorie hat die Begrenztheit vom Lösen durch Auflösen gezeigt. Daran können auch Algebrasysteme für Computer nichts ändern. Andererseits zeigt gerade der Computer die Bedeutung von Näherungsverfahren. So bieten Algebraprogramme eine Wahlmöglichkeit zwischen algebraischer und numerischer Lösung.