Der Fundamentalsatz der Algebra-
Wandlungen eines Satzes
C. F. GAUSS beweist in seiner Dissertation 1799 den
neuen Satz:
Alle ganzen rationalen algebraischen Funktionen einer Variablen lassen sich in
reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades zerlegen.
J. A. SERRET spricht 1866 vom
Fundamental-Prinzip der Theorie der Gleichungen:
Bezeichnet f(z) eine ganze Function mten Grades von z, deren
Coeffizienten gegebene, reelle oder complexe, Grössen sind, so hat die
Gleichung f(z) = 0 eine reelle oder complexe Wurzel.
So formuliert H. WEBER 1898 den
Fundamentalsatz der Algebra:
Jede Function f(x) vom n ten Grade hat wenigstens eine Wurzel.
Bei E. STEINITZ lautet 1910 der
Fundamentalsatz der Algebra:
Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.
H. HASSE spricht 1927 von dem
sogenannten Fundamentalsatz der Algebra:
Im Körper der komplexen Zahlen zerfällt jedes Polynom aus einem Zahlkörper in
Linearfaktoren.
H. LÜNEBURG hat 1999 keine Bedenken, ohne Einschränkung zu schreiben:
Fundamentalsatz der Algebra. Der Körper der
komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.
GAUSS gab 4 Beweise für diesen Satz. Etliche neue Beweise sind inzwischen dazu gekommen. Ein kurzer Beweis geht so:
Angenommen, f hat keine komplexe Nullstelle.
Dann ist 1/f analytisch.
Aus |f(z)| → ∞ für z → ∞ folgt 1/f(z) → 0 für |z| → ∞.
Also ist 1/f beschränkt.
Nach dem Satz von LIOUVILLE ist dann
1/f konstant.
Das ist ein Widerspruch.
