Einführung
unendliche Summen und ihre Schreibweise

Im Folgenden betrachten wir kurz die Verwendung des Zeichens ∑ als Summenzeichen1. Wir stellen dazu bespielsweise die Zahl 12 als Summe dar; es gilt:


Das Summenzeichen in der letzten Zeile ist eine kurze Schreibweise für die Summation in Zeile zwei; der Laufindex k geht dabei von k = 1 bis k = 12 (die untere Grenze steht unterhalb, die obere Grenze oberhalb des Sigmas). Das Zeichen gibt somit die Anweisung “Summiere die Zahl 1 zwölf mal auf”.

Sinnvoll und interessant wird die Schreibweise dann, wenn man den Laufindex k in die Formel rechts des Summenzeichens mit einbauen kann, etwa dergestalt:

Wieder besteht die Summe aus zwölf Summanden. Der Laufindex k tritt aber selber als Summand auf – er wird von k = 1 bis k = 12 schrittweise erhöht.

In vielen Fällen taucht der Laufindex als Exponent auf. Die Summe der ersten Potenzen der Zahl 2 lässt sich etwa so schreiben:

 

Es ist manchmal sinnvoll, die obere Grenze des Laufindex nicht durch eine feste Zahl zu beschreiben, sondern allgemein auf eine Zahl n ∈ ℕ zu setzen; so kann man allgemeingültige Lösungen finden und angeben. Beipielsweise lassen sich die natürlichen Zahlen bis zu einer Obergrenze n ∈ ℕ der Reihe nach aufsummieren durch2

Wenn man die Obergrenze n immer größer werden und gegen unendlich (“n →∞”) gehen lässt, so kann man schließlich auch "Grenzwerte" betrachten. Beispielsweise

Man erhält dann Summen mit unendlich vielen Summanden. Dass solche Summen trotzdem nicht zwingend unendlich groß werden, sondern auch gegen einen endlichen Wert streben können, zeigen unsere Aufgaben. Zum Ausrechnen der dort auftretenden Summen finden Sie [ hier ] ein Berechnungs-Tool.

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1es handelt sich um den großen Buchstaben “Sigma” des griechischen Alphabets

2Eine Lösung erhält man hier, indem man jeweils Paare von zwei Summanden zu einemzusammenfaßt, etwa den ersten und den letzen Summanden: 1 + n = n + 1; 2 + (n- 1) = n + 1; ... Es gilt: